## Notes
### Chapter 1
#### Manifolds （流形）
对于 Manifold （流形）有了一个很符合直觉的定义。一个 n-manifold 给我的感觉是大概可以理解为一个 n 维的空间。~~比如，一根绳子其实就是一个 1-manifold。为什么是 1-manifold，因为在这跟绳子上，我们可以通过一个坐标来确定它里面的任何一个点。比如，当我们确定从绳子的一端数 5cm 的时候，那么我们其实就可以确定对应的点——不管这根绳子在我们三维世界上看是弯的打结的还是笔直的。同理，一张纸其实就是一个 2-manifold，因为我们可以通过两个坐标来确定上面的任意一个点。~~
> 更正：这边的理解不对。一根绳子并不是一个 1-manifold 因为它两端是 closed 的——但是一根橡皮筋是一个 1-manifold。对于一个 Manifold 更准确的定义其实是这样的：对于这样一个集合的每一个点，这个点都属于一个开集合，而这个开集合可以被连续映射到一个 n 维度的欧式几何空间（同时是 bijection，也就是那个对应的空间也可以被连续映射回来），那么这个就是一个 manifold。教科书上说对于任何一个 neighboring 的 open set，如果都可以被映射到一个在 n 维度下的一个球，那么这个整个东西就是一个 n 维度的 manifold。——一根绳子不是一个 manifold 的原因是在绳子的端点的那个点，它不存在一个开区间；而一根橡皮筋就可以被理解为一个 manifold。
#### 拓扑
~~同时解释了一下大概什么叫做拓扑。没有很严谨的定义，但是大概是如果对于一个 manifold，我们对于它所有的 open sets（开集合），都存在一个 bijection 能映射到另外一个 manifold 上的 open sets，那么这两个东西就在拓扑意义上是相等的。这就是为什么一个茶杯和一个甜甜圈在拓扑意义上是等价的。~~
> 更正：我应该是把 manifold 的定义和拓扑的定义弄混了。这边可以理解为两个东西是等价的类似于就是可以把一个东西连续变换成另一个东西，但是这个连续变换怎么定义等看到后面再回来研究。
>
> 一根橡皮筋没有办法和一个无限长的绳子进行等价，这个原因是因为如果我们要把前者变成后者，我们必须破坏这个环的结构。
有一个很乐的事情，书上说数学家发现可以把一个球通过拓扑变换给内外翻面，于是我去谷歌搜了一下，看到了[这个视频](https://youtu.be/Zv-XNlE1s8E?si=HqN6iJVayWHu1Lcc)。越听越不对劲，男性角色开始骂女性角色，从 b-word 开始愈演愈烈，到羞辱女性角色离婚，到两角色之间发生性关系，到最后他俩是兄妹。整个过程很 continuous 以至于我直到看到后面才意识到这是一个 parody——只能说明拓扑和德国骨科大概在拓扑意义上是等价的吧，至少前者很平滑地过度到了后者（乐）。正经的视频在下面：
#### 复平面
大概了解了一下复平面，但是这个实在不是我擅长的东西。在复平面下，其实没有办法定义一个全局的连续的平方根函数。大概的原因是我们可以通过极坐标（polar coordinates）来表示一个复平面上的点：
$ f(r, \theta) = r e^{i\theta}. $
这样的话，如果我们给它开一个根好，我们获得的就是：
$\sqrt{f(r,\theta)} =\begin{cases}\sqrt{r}e^{i\theta/2},\\\sqrt{r}e^{i\theta/2+\pi}.
\end{cases}$
对于这个东西画出来的图是这个样子的——就和正常根号画出来的图是一个样子的。只不过对于一个复平面，我们没有办法确定到底哪一个是正确的点（到底是红色的还是蓝色的）（对于实数来说，这个可以确定，因为我们取正的就好）。所以，这个就是把一个点给映射到两个点的一个 Relation，而不是一个函数。——所以，根号在复平面上是不连续的。
![[20241105010033.png]]
```mathematica
(*Plotting both functions with r set to 1*)
plot1 = ParametricPlot[{Cos[\[Theta]/2 + \[Pi]],
Sin[\[Theta]/2 + \[Pi]]}, {\[Theta], 0, 2 \[Pi]},
PlotStyle -> Directive[Blue, Thick], PlotRange -> All,
PlotLabel ->
Style["Plot of sqrt(1) e^{i(\[Theta] / 2 + \[Pi])}", Bold],
AxesLabel -> {"Real Part", "Imaginary Part"}, AspectRatio -> 1];
plot2 = ParametricPlot[{Cos[\[Theta]/2], Sin[\[Theta]/2]}, {\[Theta],
0, 2 \[Pi]}, PlotStyle -> Directive[Red, Thick], PlotRange -> All,
PlotLabel -> Style["Plot of sqrt(1) e^{i \[Theta] / 2}", Bold],
AxesLabel -> {"Real Part", "Imaginary Part"}, AspectRatio -> 1];
(*Show both plots together*)
Show[plot1, plot2, PlotLabel -> "Plot for r = 1 for Both Functions"]
```
### Algebra
- [[General Linear Group]] 就是一个包含所有 $n\times n$ 的可逆（invertible）实矩阵的群。因为 $\operatorname{det}$ 函数是一个 continuous 的函数，而其值域 $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ 是一个 $\mathbb{R}$ 中间的 Open Set，所以对应的 pre-image 也是一个 open set。